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小波包双尺度函数的数学表达
小波包（WP）是由Coifman et al.在小波变换的基础上提出的。小波包变换不仅对低频分量进行分解，而且对高频部分提供更精细的分解，能够更为精确地确定信号所包含的频率成分，是一种更广泛的小波分解方法（孙煜等，2005；王云松等，2005）。
4.1.2.1 小波包变换的数学定义
小波包分解是建立在多分辨率分析的基础上。在多分辨率的小波分析中，平方可积空间 表明其小波分析是按照不同的尺度因子j把L2（R）分解为所有子空间Wj（j∈Z）的正交和。其中Wj为小波函数ψ（t）的闭包（小波子空间）。进一步对小波子空间Wj按照二进制进行频率细分可达到提高频率分辨率的目的。一种自然做法是将尺度空间Vj和小波子空间Wj用一个新的子空间 统一起来表征（杨超等，2004），令 -尺度函数
高光谱遥感影像信息提取技术
，j∈Z，则正交分解Vj＋1＝Vj⊕Wj，即 得统一分解为
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定义子空间 是函数μn（t）的闭包子空间，而 是函数μ2n（t）的闭包子空间，定义下面的递推子关系，并令μn（t）满足递推子关系的双尺度方程（Coifman et al.，1992；孙煜等，2005；王云松等，2005）：-尺度函数
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式中：递归定义的函数μn（n＝1，2，…）称为由正交尺度函数μ0（t）＝ψ（t）确定的小波包。其中，hk、gk、（k∈Z）分别称为低通滤波系数和高通滤波系数。gk＝（－1）kh1－k，即两系数也具有正交关系。而当n＝0时，μ0（t）＝ψ（t），μ1（t）＝ψ（t），由上式得到：-尺度函数
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式中：μ0（t）和μ1（t）分别为尺度函数和小波函数的双尺度方程。显然μ0（t）和μ1（t）分别退化为尺度函数ψ（t）和小波基函数ψ（t）。序列 ｛μn（t）｝（n∈Z＋）称为由正交尺度函数μ0（t）＝ψ（t）确定的小波包，或称序列 ｛μn（t）｝为关于序列｛hk｝的正交小波包。-尺度函数
对任意非负整数n∈Z＋和任一整数j∈Z，令 表示由小波包μn的二进伸缩和平移的线性组合合成的L2（R）的闭子空间，则：
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式中：｛Vj｝是由尺度函数U0＝ψ生成的L2（R）的多分辨分析；｛Wj｝是由小波U1＝ψ生成的正交小波子空间序列。
4.1.2.2 小波包的空间分解与重构算法
根据尺度函数μ0（t）＝ψ（t）和小波函数μ1（t）＝ψ（t），利用式（4.2）、式（4.3）可得到如下空间分解：
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令 ｛μn（t）｝n∈z是关于低通滤波系数hk的小波包族，用下式生成子空间族。令n＝1，2，…；j＝1，2，…，并对上式作迭代分解，得Wj的分解（图4.2），有：
图4.2 小波空间的小波包子空间完全分解示意图
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在实际应用中，通常关心的是L2（R）的某个子空间 的小波分解和小波包分解（Wu Yet al.，1996）。小波包分解有如图4.2的分解关系。 可以有不同的分解，对应的VL中的信号f（t）∈VL可以用不同的基的组合来表示，通常以信息代价函数为标准，选取该信号的最优表示。信息代价函数有不同的定义，但它必须能反映出将信号（或函数）在这组基下展开时所需要的计算量和存储量等花费。-尺度函数
记信号f（t）在子空间 上的小波包系数分别为 且l2为L2（R）的平方可积离散序列空间，则由小波包的定义及式（4.6）可得如下的小波包快速分解与重构算法。小波包分解算法：
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在对高光谱影像进行小波包分解以及对影像分解系数进行处理之后，就要恢复成处理结果的图像。小波包变换的重构运算就是小波包分解的逆运算，是将处理后频率域内的系数重新合成时域图像。小波包重构算法：
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式中：hk－2l，gk－2l分别称为低通滤波系数和高通滤波系数。
对尺度函数的要求
（1）尺度函数与两尺度序列
V0称为参考子空间。多分辨率分析的性质（5）指出，若V0中存在一个尺度函数φ（t）可用标准正交基表示成式（6-66）的形式，即
地球物理信息处理基础
则尺度函数φ（t）的构造由｛hk；k∈Z｝决定，例如，①有限长的两尺度序列对应的尺度函数一定是紧支集的函数，②最短的两尺度序列对应的尺度函数的支集区间一定是最短的。
两尺度序列｛hk；k∈Z｝是尺度函数φ（t）在V-1空间的正交投影，即
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对式（6-66）所表示的两尺度关系式左右两边求傅氏变换
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H（ω）见式（6-71），得
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这是两尺度关系式的频域表示。式（6-66）和式（6-77）的求和在L2（R）上都收敛。H（ω）是L2（［0，2π］）中周期为2π的函数。式（6-78）几乎逐点处处成立，用符号“（a.e.）”（all most everywhere）注明。-尺度函数
（2）成为标准正交基的充分必要条件
式（6-71）定义的H（ω）是hk的傅氏变换用
归一化的结果，其目的是为了简化两尺度关系的频域表示式（6-78）。H（ω）决定着尺度函数的结构，因而十分重要。可以证明φ0，k（t）成为V0的标准正交基的充分必要条件是：
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（3）尺度函数与两尺度序列的性质
假设有下列条件成立
1）φ（t）∈L1（R）（绝对可积）
2）
，（a.e.）
3）｛hk｝∈l1，（离散绝对可和的）
由（一）得Φ（ω）是连续函数，由（二）得Φ（0）=1，Φ（2kπ）=0，（0≠k∈Z），那么两尺度序列｛hk；k∈Z｝具有以下性质
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并且有
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为使上式成立，要求无限积分∏H（ω/2k）收敛。此外，还可以导出（G（ω）见式（6-71））
H（0）=1，H（π）=0
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综合以上分析，我们可以归纳出：为了使φj，k（t）=2-jφ（2-jt-k），j，k∈Z构成Vj子空间的正交基，生成元φ（t）（尺度函数）应该具有下列基本性质：
1）尺度函数的容许条件：
。
2）能量归一化条件：‖φ（t）‖2=1。
3）尺度函数φ（t）具有正交性，即＜φ（t-k），φ（t-l）＞=δk，l，∀k，l∈Z。
4）尺度函数φ（t）与基小波函数ψ（t）正交，即＜φ（t），ψ（t）＞=0。
5）两相邻不同尺度的尺度函数φ（t）与φ（2t）相关，即满足双尺度方程（6-66）。
6）母小波函数ψ（t）和φ（2t）相关，即满足小波函数的双尺度方程（6-95）。
将尺度函数的容许条件与小波的容许条件作一对比知：尺度函数的傅氏变换Φ（ω）具有低通滤波特性（相当于低通滤波器，因为
，而小波函数的傅氏变换Ψ（ω）则具有高通滤波特性（Ψ（0）=0。或更确切地说，相当于带通滤波器）。
什么是尺度函数、小波函数？尺度函数及小波函数的物理意义？
尺度函数可以用来生成小波函数，有的人称之为父小波函数
尺度函数和小波函数分别是尺度空间（近似空间）和细节空间的基函数，两者通过双尺度方程联系
以多尺度分析或者多分辨分析为例。尺度函数一般是整个框架的生成元，它生成整个框架，也生成小波函数，另外，尺度函数的傅立叶变换一般可做低通滤波器，而小波函数的傅立叶变换一般是用作带通或高通滤波器！
可以通过尺度函数来构造小波函数，这是构造小波函数的一种方法，两者通过双尺度方程相联系，
但是，并不是说每一种小波函数都有相应的尺度函数，有的小波是没有对应的尺度函数的。
计算小波函数和尺度函数wavefun调用方式
（1）［Phi，Psi，Xval］=wavefun（‘wname’，iter）；
（2）［Phi1，Psil，Phi2，Psi2，Xval］=wavefun（‘wname’，iter）；
（3）［Psi，Xval］=wavefun（‘wname’，iter）；
（4）wavefun（‘wname’，a，b）。
说明：该函数用来返回小波函数ψ和相应的尺度函数φ（在尺度函数存在的情况下）的近似值。正整数iter决定了反复计算的次数，从而确定了近似值的精确程度。
对于一个正交小波，格式（1）返回尺度函数和小波函数，X在支撑区间上有2iter个点。
对于一个双正交小波，格式（2）返回分别用于分解的尺度函数（φ1）和小波函数（ψ1）及重构的尺度函数（φ2）和小波函数（ψ2）。
对于一个Meyer小波，有：［Phi，psi，Xval］=（‘wname’，iter）。
对于一个Morlet小波或Mexican Hat小波，有［psi，Xval］=（‘wname’，iter）。
对于格式（4），a、b是正整数，且格式（4）等价于wavefun（‘wname’，max（a，b））。它计算尺度函数和小波函数的近似值并画出图形。
下面给出调用wavefun的实例，小波函数为SymletsA（symN）。Symlets函数系是由Dau-bechies提出的近似对称的小波函数，它是对Daubechies（dbN）小波函数的一种改进，Sym-lets函数系通常表示为symN（N=2，3，…，10），而Daubechies函数系通常表示为dbN（N=2，3，…，10）。-尺度函数
［例6-2］clear，clc；
iter=10；wav=‘sym4’；%设置小波的名字和计算的次数
%下面用叠代算法计算小波函数ψ的近似值并画出波形图
figure（1），clf；subplot（211）
for I=1：iter
图6-38 小波函数sym4
［phi，psi，Xval］=wavefun（wav，I）；
plot（Xval，psi，‘k’，‘linewidth’，1）；
hold on
end
title（‘小波函数sym4的近似值（iter从1到10）’）；
hold off
什么是尺度函数，小波函数
尺度函数又称为小波父函数.根据双尺度方程,可以由尺度函数生成小波.进行信号处理时,先要对信号进行副近.也就是用尺度函数对信号进行分解.尺度函数的频带与待分析信号的频带相同,然后将逼近函数分别在尺度空间和小波空间中进行分解.就得到了信号的低频粗略部分和高频细节部分.此时新的尺度函数频带是原信号频带的一半.小波函数的频带是另一半(高频部分).由此实现了对原信号的按频带分解!-尺度函数
