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欧拉的函数

欧拉的函数(欧拉的函数的自频道)

admin admin 发表于2023-04-10 20:22:10 浏览73 评论0

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欧拉函数的证明

欧拉函数:对任意大于1的正整数x,[1, x]范围内与x互质的正整数的个数 f(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2).....(1-1/pn)

其中pi为x所有的质因数(i=1, 2, ... , n)

证明:

当x=2时,仅有1与x互质,仅有1个质因数2,因此f(x)=x(1-1/p1)=2*(1-1/2)=1, 欧拉函数成立。

当x=p^k时,其中p为质数,k为正整数,则与x不互质的正整数为p, 2p, ..., x, 即p(1, 2, ..., x/p), 除此之外的数均与x互质,因此互质的个数为x-x/p=x(1-1/p), 欧拉函数成立。-欧拉的函数

当x=(p1^k1) * (p2^k2)时,根据定理,两个互质的正整数的欧拉函数之积等于其积的欧拉函数,因为(p1^k1) 与 (p2^k2) 互质,因此:

f((p1^k1) * (p2^k2)) = f(p1^k1) * f(p2^k2) = p1^k1(1-1/p1) * p2^k2(1-1/p2) =  (p1^k1) * (p2^k2) * (1-1/p1) * (1-1/p2)-欧拉的函数

即 f(x) = x(1-1/p1) * (1-1/p2) ,欧拉函数成立。

当x=(p1^k1) * (p2^k2) * ... * (pt^kt) , 其中t=3时,因为 (p1^k1) 与 (p2^k2) * ... * (pt^kt) 互质,因此

f(x) = f(p1^k1) * f((p2^k2) * ... * (pt^kt)), 

同理不断展开,即 

f(x) = f(p1^k1) * f(p2^k2) * ... * f(pt^kt) = (p1^k1) * (1-1/p1)  * (p2^k2) * (1-1/p2) .........  * (pt^kt) * (1-1/pt)-欧拉的函数

      = (p1^k1) * (p2^k2) * ... * (pt^kt) * (1-1/p1) * (1-1/p2) * .... * (1-1/pt) 

      = x(1-1/p1) (1-1/p2)  ....  (1-1/pt)

证明完毕

欧拉函数 || 降幂

φ[p]是欧拉函数,表示0到x中与x互质的数的个数

例如φ(24)=8,因为1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23均和 24 互质。

φ(24)=24*(1-1/2)*(1-1/3)=8.

其中(p1.....pn)为N的素因子.

对于质数p,φ(p) = p - 1,注意φ(1)=1.

欧拉函数是积性函数——

若m,n互质,φ(mn)=φ(m)φ(n)。

若n是质数p的k次幂,φ(n)=p k-p (k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。

特殊性质:当n为奇数时,φ(2n)=φ(n)

欧拉函数还有这样的性质:

设a为N的质因数,若(N % a == 0 (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a;若(N % a == 0 (N / a) % a != 0) 则有:E(N) = E(N / a) * (a - 1)。-欧拉的函数

 

欧拉定理:若a与m互质,则a^f(m)恒等于1(mod m)

降幂公式:a^b mod c = a^(b mod phi(c)+phi(c)) mod c。{phi(c) == f(c)}

 

 

题意:给你一个字符串,由0,1,2组成,每秒钟在1后面添加一个0,在二后面添加一个1,然后去掉字符串的首个字符,问需要多少秒后,字符串变成空串。

1

01

001

0001

00001

000001

0000001

00000001

000000001

0000000001

相对应的答案是:2,4,6,8,10,12,14,16,18,20

2

02

002

0002

00002

000002

0000002

00000002

000000002

0000000002

相对应的答案是:3,9,21,45,93,189,381,765,1533,3069

然后可以推出,0的时候,t'=t+1;1的时候,t'=2*(t+1);2的时候, t'=3*(2^(t+1)-1)

但是我们现在知道的就只有以下四种方式

欧拉公式是什么?

欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有,复变函数中的欧拉幅角公式,即将复数、指数函数与三角函数联系起来。拓扑学中的欧拉多面体公式。初等数论中的欧拉函数公式。欧拉公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律,它只适用于简单多面体。常用的欧拉公式有复数函数e^ix=cosx+isinx,三角公式d^2=R^2-2Rr-欧拉的函数

物理学公式F=fe^ka等。

复变函数

e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位。[2]

欧拉公式

e^ix=cosx+isinx的证明:

因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……

cos

x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……

sin

x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……

在e^x的展开式中把x换成±ix.

(±i)^2=-1,

(±i)^3=∓i,

(±i)^4=1

……

e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……

=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)

所以e^±ix=cosx±isinx

将公式里的x换成-x,得到:

e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到:

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到:

恒等式

e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率π,两个单位:虚数单位i和自然数的单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”-欧拉的函数

那么这个公式的证明就很简单了,利用上面的e^±ix=cosx±isinx。

那么这里的π就是x,那么

e^iπ=cosπ+isinπ

=-1

那么e^iπ+1=0

这个公式实际上是前面公式的一个应用。

分式

分式里的欧拉公式:

a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0

当r=2时值为1

当r=3时值为a+b+c

三角公式

三角形中的欧拉公式:

设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则:

d^2=R^2-2Rr

拓扑学说

拓扑学里的欧拉公式:

拓扑学V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上),那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h。[3]

X(P)叫做P的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围。

初等数论

初等数论里的欧拉公式:

欧拉φ函数:φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数。n是一个正整数。

欧拉证明了下面这个式子:

如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等。则有

φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

利用容斥原理可以证明它。

物理学

欧拉公式应用

众所周知,生活中处处存在着摩擦力,欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里:

F=fe^ka

其中,f表示我们施加的力,F表示与其对抗的力,e为自然对数的底,k表示绳与桩之间的摩擦系数,a表示缠绕转角,即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。

此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。

欧拉函数计算公式是什么?

它于1640年由Descartes首先给出证明,后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明,我们称其为欧拉定理,在国外也有人称其为Descartes定理,R+V-E=2就是欧拉公式。

在任何一个规则球面地图上,用R记区域个数,V记顶点个数,E记边界个数,则R+V-E=2,这就是欧拉定理。

当R=2时。

由说明1这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面,赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”。

即R=2,V=2,E=2于是R+V-E=2,欧拉定理成立。

求欧拉函数的计算公式

它于1640年由Descartes首先给出证明,后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明,我们称其为欧拉定理,在国外也有人称其为Descartes定理,R+V-E=2就是欧拉公式。

在任何一个规则球面地图上,用R记区域个数,V记顶点个数,E记边界个数,则R+V-E=2,这就是欧拉定理。

当R=2时。

由说明1这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面,赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”。

即R=2,V=2,E=2于是R+V-E=2,欧拉定理成立。

欧拉公式的三种形式

欧拉公式的三种形式为:分式、复变函数论、三角形。

1、分式里的欧拉公式:a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b),当r=0,1时式子的值为0,当r=2时值为1,当r=3时值为a+b+c。

2、复变函数论里的欧拉公式:e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位。

将公式里的x换成-x,得到:e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到:sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2。这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到:e^i∏+1=0。-欧拉的函数

这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数学联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率∏,两个单位:虚数单位i和自然数的单位1,以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看它而不能理解它。-欧拉的函数

3、三角形中的欧拉公式:设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则:d^2=R^2-2Rr。