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基于地统计学的宁波市区地价空间分布特征研究
楼立明1 冯秀丽2
（1.宁波市国土资源局镇海分局，宁波，3151202.宁波大学建工学院，宁波，315120）
摘要：城市地价是一个具有时空性质的多维概念，在空间分布上具有较强的关联性和特殊性。本文以宁波市中心城区为研究区域，以地价信息为研究对象，探讨了如何基于地统计学和 GIS 对地价的空间分布特征和规律进行研究的原理和方法。-半方差函数
关键词：城市地价；空间分析；地统计学；宁波市区
1 地统计学的基本概念
地统计学（Geostatistics）是由法国著名数学家G·Matheron教授在研究了南非地质工程师 D.G.Krike 等人工作的基础上，于1963年提出并创立的。地统计学是在地质分析和统计分析的基础上形成的一套分析空间相关变量的理论和方法，它以区域化变量理论为基础，以变差函数为主要工具，研究那些在空间分布上既有随机性又有结构性的自然现象的科学。地统计学能最大限度的利用野外调查所能提供的各种信息，例如样本位置、样本值和样本承载大小等；能利用稀疏的或无规律的空间数据。由于地统计学能够较准确地描述区域化变量的随机性和结构性变化，因而越来越受到重视，除成功应用于自然资源方面外，还广泛应用于环境科学、农林科学、水利科学和土地科学中。-半方差函数
在地价研究领域，地统计学的应用主要体现在三个方面：一是定量区域化变量的空间相关性，二是对调查数据进行空间插值，三是分析空间数据的时空规律性。相对来说，对空间插值应用较多，由于在通常的地价调查中，野外调查所得的数据不能完全覆盖所要求的区域范围，需要应用地统计学的方法进行插值，将离散的采样点数据内插为连续的数据表面。-半方差函数
应用地统计学的最大好处是它能够在空间相关分析的基础上，利用稀疏的、无规律的调查数据，最大限度的揭示这些数据所能提供的空间信息。但是，地统计学应用在地价研究中还刚刚开始，还存在着诸如空间与时间的协同分析、样点数目、取样位置、方向、大小的设计等等，这些都值得进一步完善和改进。-半方差函数
2 地统计学分析的基本函数
在地统计学上，用于空间相关分析的函数主要是半方差函数（Variograms Function）、协方差函数（Covariance Function）、相关函数（Correlation），其中半方差函数是地统计学最常用的工具。除此之外，还有一般相对方差函数、交叉变差函数、成对相对方差函数、对数方差函数、广义方差函数、特征化方差函数（或指示方差函数）及散点图等，但应用较少，一般不适合对地价进行空间分析。-半方差函数
半方差函数定义为：区域化变量z （xi）和z （xi ＋h）的增量平方的数学期望，即区域化变量增量的方差。半方差函数既是距离h的函数，又是方向α的函数。其计算公式如下：
土地信息技术的创新与土地科学技术发展：2006年中国土地学会学术年会论文集
式中，γ（h）为半方差函数值，半方差函数曲线图（Semivariogram）是半方差函数γ（h）对距离 h 的坐标图形。N （h）是被及分隔的数据对的数量，z （xi）和z （xi ＋h）分别是在点xi 和 xi ＋ h处样本的测量值，h是两分隔样点的距离。-半方差函数
对于一个典型的空间聚集分布，半方差函数一般随着距离的增大而增大，亦即区域化变量的空间变异愈来愈大，空间相关性逐渐减小，但增加至某一值时，半方差函数不再增加而是保持稳定，这表示样点间已不存在空间相关关系。将半方差函数值不再增加时的距离称为空间依赖范围（Range of Spatial Dependence），简称变程或相关程（Range），用 a表示。此时的半方差函数值称为基台值（Sill），用C0 ＋C表示。半方差函数曲线在 Y 轴上的截距称为区域不连续值，亦称块金（Nugget）系数或者核方差，用 C0表示。C0的大小可以反映区域化变量的局部随机性大小。（基台一块金）/基台（即 C/（C0 ＋C））的大小可以反映空间变异在总变异中所占的比例，或用随机程度（块金/基台，即C0/（C0 ＋C））的大小反映研究范围内不是由地价的空间自相关引起的那部分变异在总变异中所占的比率，也就是地价随机性和结构性所占成分。-半方差函数
3 宁波市区地价的地统计学分析
3.1 宁波市区地价的地统计学分析范围及样点分布
本次宁波市区城镇土地定级范围包含了宁波的六个区，从土地利用方式和土地市场发育水平来看，都存在着较大的差异，特别是山区，土地交易现象极少，土地价格样点稀缺。从地统计学对样点的要求而言，虽然不要求地价样点规则取样，但是大面积内样点稀缺会对分析结果的可靠性造成很大影响，同时，考虑到宁波市区土地交易主要集中在以市三江片为核心的一个辐射圈内，因此，本次宁波市区地价的地统计学分析的范围定为宁波市三江片向外扩展的一个区域。分析范围及范围内地价样点情况如图1～图3 所示。-半方差函数
图1 分析范围内商业地价样点分布图
图2 分析范围内住宅地价样点分布图
图3 分析范围内工业地价样点分布图
3.2 地价在各向异性条件下的变异分析
地价作为一种区域化变量，在各个方向上都有变化。一个区域化变量如果在不同方向上都有变化，那么当变异函数r （h）在各个方向上的变化都相同时称为各向同性，反之称为各向异性。图4～图6为不同地价类型在0°，45°，90°和135°四个方向上的变异曲线图。-半方差函数
（1）工业地价没有表现出各向异性结构特征，在不同的方向上，不同距离的半方差函数值均不能用合适的模型来拟合出半方差曲线，这说明宁波市区工业用地的发展轴向不明确，同时工业用地价格的政策性因素也较大，造成地价规律性较差。-半方差函数
（2）住宅、商业两种地价均表现出一定的各向异性结构特征，在不同的方向上，块金值、基台值和变程均不相同，具有带状各向异性特征。在135°方向（西北—东南）上地价不同距离上的半方差函数值的拟合效果较好，说明近年来鄞州区中心区的建设对宁波城市商业和居住功能的分布格局产生了显著的影响。宁波市三江片西部和南部大量的居住区建设，形成了好又多、麦德龙等新的商业中心。-半方差函数
3.3 地价在各向同性条件下的变异分析
为了不同地价间的对比和地价扩散情况的分析，往往需要将各向异性结构通过线性变换和矩阵变换转化为各向同性结构。其原理是通过改变不同方向上的距离h，使 γ（h）在各个方向上具有相同的变化情况。地统计学软件 GS＋提供了这种工具，使得具有各向异性的区域化变量可以转化为各向同性结构下进行研究。图7～图9 为不同地价类型在各向同性下的变异曲线图，图10～图12 为不同地价类经过kriging空间插值后的平面和相应的三维曲面图。表1 为不同地价类型各向同性下的变异曲线的模拟公式参数。-半方差函数
表1 不同地价类型各向同性下的变异曲线的模拟公式参数
图4 工业地价在0°，45°，90°，135°四个方向上的变异曲线图（指数模型）
图5 住宅地价在0°，45°，90°，135°四个方向上的变异曲线图（指数模型）
图6 工业地价在0°，45°，90°，135°四个方向上的变异曲线图（球状模型）
工业地价变异曲线模拟方程为：
土地信息技术的创新与土地科学技术发展：2006年中国土地学会学术年会论文集
图7 工业地价变异曲线图（球状模型）
住宅地价变异曲线模拟方程为：
土地信息技术的创新与土地科学技术发展：2006年中国土地学会学术年会论文集
商业地价变异曲线模拟方程为：
土地信息技术的创新与土地科学技术发展：2006年中国土地学会学术年会论文集
图8 住宅地价变异曲线图（球状模型）
图9 商业地价变异曲线图（球状模型）
图10 工业地价经过kriging 空间插值后的平面和相应的三维曲面图
图11 住宅地价经过kriging 空间插值后的平面和相应的三维曲面图
图12 商业地价经过kriging 空间插值后的平面和相应的三维曲面图
4 结论
（1）三种地价在空间一定范围内均存在着空间相关性，它们的空间相关距离为1810～3925 m。工业地价的空间相关距离最大，为3925 m；住宅次之，为2914 m；商业最小，为1810 m。说明土地价格空间变化的梯度是商业用地大于住宅用地，住宅用地大于工业用地。-半方差函数
（2）在三种地价空间变异的总方差中，均是结构方差（C）所占的比例要大于块金效应（C0）所占比例。这说明确定性因素（交通状况、基础设施、环境状况等）对地价的影响要大于随机因素引起的地价差异，地价的构成还是比较合理的。-半方差函数
（3）块金效应（C0），是住宅地价＞ 商业地价＞ 工业地价，这说明三种地价中住宅地价最容易受不确定性因素影响，价格变动最大，工业地价相对最稳定。这与宁波市房地产市场中住宅价格明显提高，近年来政府不时出台宏观调控政策的情况比较符合。-半方差函数
图13 宁波市区商业用地价格分布图
图14 宁波市区住宅用地价格分布图
（4）空间变异系数 C/C0 ＋C，商业地价达到 0.659，住宅为 0.807，工业为 0.874，这说明工业地价的空间变异性最强，受周围地价的影响最大。而商业地价和住宅地价受到宁波市近年来城市规划调整的影响，随着新规划的城市中心（如东部新城）、副中心（鄞州中心区）的建设，在空间上出现了不连续的、突变性特点。-半方差函数
（5）从通过空间插值得到的宁波市中心城区（三江片）的地价分布图，加入道路和河流等控制性基础因素（图13～图15），可以看出，宁波市商业地价的地域分异规律明显，不仅原来的中心城区老的城市建成区地价较高，而且整个城市往东发展和江北区往北发展，海曙区往西发展、鄞州区往西南发展带来的商业用地地价变化也很明显。宁波市区住宅用地价格和工业用地价格变化规律也得到了非常直观的反映。-半方差函数
图15 宁波市区工业用地价格分布图
参考文献
刘卫东等.宁波三江片城市土地价格调查.北京：科学出版社，2002
王政权.地统计学及在生态学中的应用.北京：科学出版社，1999
王瑞萍.GIS 空间分析技术应用研究.油气田地面工程，2003，22 （6）
陈浮，李满春等.城市地价空间分布因式的地统计学分析.南京大学学报（自然科学），1999，35 （6）
单卫东，包浩生.城市中空间扩散的各向异性研究.南京大学学报（自然科学），1996，32 （3）
许晓晖.上海市商品住宅价格空间分布特征分析.经济地理，1997，17 （3）
拟合得到半方差函数的作用
半方差函数（Semi-Variogram Function）是用来描述地理数据的随机性和空间相关性的一个重要工具。拟合半方差函数可以通过分析一组地理数据来揭示数据的空间相关性，进一步运用空间插值法对缺失数据进行预测。-半方差函数
具体来说，半方差函数是用来描述相邻两点之间的变异程度和相关性的函数。通常情况下，采用经验半方差函数和理论半方差函数来进行拟合。
经验半方差函数是从已有的数据样本中计算出来的，它描述的是样本变异性。通常情况下，通过计算距离不同的样本之间的半方差值来获得整个区域内不同距离的半方差值。拟合经验半方差函数可以帮助我们对数据的空间变异性有一个初步的认识。-半方差函数
理论半方差函数是由理论模型计算得到的，它描述了整个区域内的变异程度。在实际应用中，通常需要结合已有的数据样本，选择合适的理论模型进行拟合，以便进行后续的空间预测。
拟合半方差函数的作用是为了衡量和估计不同距离的样本之间的变异程度和空间自相关性，以便对缺失数据预测和区域化方法进行优化和改进。它可以提供对地理数据的更加深入和准确的理解，对于地理数据的存储、运用和分析具有重要的意义。-半方差函数
半方差分析?
半方差函数(Semi-variogram)及其模型
半方差函数也称为半变异函数,它是地统计学中研究土壤变异性的关键函数.
2.1.1半方差函数的定义和参数
如果随机函数Z(x)具有二阶平稳性,则半方差函数((h)可以用Z(x)的方差S2和空间协方差C(h)来定义:((h)= S2-C(h)
((h)反映了Z(x)中的空间相关部分,它等于所有以给定间距h相隔的样点测值之差平方的数学期望:
(1)
实际可用:
(2)
式中N(h)是以h为间距的所有观测点的成对数目.某个特定方向的半方差函数图通常是由((h)对h作图而得.在通常情况下,半方差函数值都随着样点间距的增加而增大,并在一定的间距(称为变程,arrange)升大到一个基本稳定的常数(称为基台,sill).-半方差函数
土壤性质的半方差函数也可能持续增大,不表现出确定的基台和变程,这时无法定义空间方差,说明存在有趋势效应和非平稳性.另一些半方差函数则可能完全缺乏空间结构,在所用的采样尺度下,样品间没有可定量的空间相关性.-半方差函数
从理论上讲,实验半方差函数应该通过坐标原点,但是许多土壤性质的半方差函数在位置趋于零时并不为零.这时的非零值就称为"块金方差(Nugget variance)"或"块金效应".它代表了无法解释的或随机的变异,通常由测定误差或土壤性质的微变异所造成.-半方差函数
对于平稳性数据,基底方差与结构方差之和约等于基台值.
2.1.2 方差函数的理论模型
土壤在空间上是连续变异的,所以土壤性质的半方差函数应该是连续函数.但是,样品半方差图却是由一批间断点组成.可以用直线或曲线将这些点连接起来,用于拟合的曲线方程就称为半方差函数的理论模型.在土壤研究中常用的模型有:-半方差函数
①线性有基台模型:
式中C1/a是直线的斜率.这是一维数据拟合的最简单模型:
((h)=C0 +C1·h/a 0在极限情况下,C1/a可以为0,这时就有纯块金效应模型:
((h)=C0, h0 (4)
((0)=0 h=0
②球状模型
((h)= C0 +C1[1.5h/a-0.5(h/a)3] 0a (5)
((0)=0 h=0
③指数模型
((h)=C0+C1[1-exp-h/a ] h0 (6)
((0)=0 h=0
④双曲线模型
(7)
⑤高斯模型
((h)=C0+C1[1-exp(-h2/a2)] h0 (8)
((0)=0 h=0
选定了半方差函数的拟合模型后,通常是以最小二乘法计算方程的参数,并应用Ross等的最大似然程序(MLP),得到效果最好的半方差方程.
2.1.3 模型的检验(cross-validation,又称作jacknifing)
为了检验所选模型三个参数的合理性,必须作一定的检验.但是到现在为止还没有一个有效的方法检验参数的置信区间;同时,由于我们不知道半方差模型的确切形式,所选定的模型只是半方差函数的近似式,故无法以确切的函数形式对模型参数进行统计检验.交叉验证法的检验方法,一种间接的结合普通克立格的方法,为检验所选模型的参数提供了一个途径.这个方法的优点是在检验过程中对所选定的模型参数不断进行修改,直至达到一定的精度要求.-半方差函数
交叉验证法的基本思路是:依次假设每一个实测数据点未被测定,由所选定的半方差模型,根据n-1个其它测定点数据用普通克立格估算这个点的值.设测定点的实测值为,估算值为,通过分析误差,来检验模型的合理性.-半方差函数
2.1.4半方差函数的模型的选取原则和参数的确定
半方差函数的模型的选取原则是:首先根据公式计算出((h)的散点图,然后分别用不同类型的模型来进行拟合,得到模型的参数值及离差平方和,首先考虑离差平方和较小的模型类型,其次,考虑块金值和独立间距,最后用交叉验证法来修正模型的参数.-半方差函数
2.2 Kriging最优内插估值法
如果区域化变量满足二阶平稳或本征假设,对点或块段的估计可直接采用点克立格法(Puctual Kriging )或者块段克立格法(Block Kriging).这两种方法是最基本的估计方法,也称普通克立格法(Origing Kriging,简称OK).-半方差函数
半方差图除用于分析土壤特性空间分布的方向性和相关距离外,还可用于对未测点的参数进行最优内插估值和成图,该法原理如下:
Kriging最优内插法的原理
设x0为未观测的需要估值的点,x1, x2,…, xN 为其周围的观测点,观测值相应为y(x1 ),y(x2),…,y(xN).未测点的估值记为 (x0),它由相邻观测点的已知观测值加权取和求得:-半方差函数
(9)
此处,(i为待定加权系数.
和以往各种内插法不同,Kriging内插法是根据无偏估计和方差最小两项要求来确定上式中的加权系数(i的,故称为最优内插法.
1. 无偏估计 设估值点的真值为y(x0).由于土壤特性空间变异性的存在,以及, y(x0)均可视为随机变量.当为无偏估计时,
(10)
将式(9)代入(10)式,应有
(11)
2. 估值和真值y(x0)之差的方差最小.即
(12)
利用式(3-10),经推导方差为
(13)
式中,((xi,xj)表示以xi和xj两点间的距离作为间距h时参数的半方差值,((xi, x0)则是以xi和x0两点之间的距离作为间距h时参数的半方差值.观测点和估值点的位置是已知的,相互间的距离业已知,只要有所求参数的半方差((h)图,便可求得各个((xi,xj)和((xi,x0)值.-半方差函数
因此,确定式(9)中各加权系数的问题,就是在满足式(11)的约束条件下,求目标函数以式(13)表示的方差为最小值的优化问题.求解时可采用拉格朗日法,为此构造一函数,(为待定的拉格朗日算子.由此,可导出优化问题的解应满足:-半方差函数
i=1,2,N (14)
由式(14)和式(11)组成n+1阶线性方程组,求解此线性方程组便可得到n个加权系数(i和拉格朗日算子(.该线性方程组可用矩阵形式表示:
(15)
式中,( ij为((xi,xj)的简写.
求得各(i值和(值后,由式(9)便可得出x0点的最优估值y(x0).而且还可由式(13)求出相应该估值的方差之最小值(2min.将式(14)代入式(13),最小方差值还可由下式方便地求出:
(16)
上述最优化问题求解还可用其他方法,在应用Kriging内插法时还有其他方面的问题,在此都不一一列举了.
半方差的介绍
半方差函数(Semi-variogram)及其模型，半方差函数也称为半变异函数，它是地统计学中研究土壤变异性的关键函数。如果随机函数Z(x)具有二阶平稳性，则半方差函数((h)可以用Z(x)的方差S2和空间协方差C(h)来定义：((h)= S2-C(h)。((h)反映了Z(x)中的空间相关部分，它等于所有以给定间距h相隔的样点测值之差平方的数学期望：式中N(h)是以h为间距的所有观测点的成对数目。某个特定方向半方差函数图通常是由((h)对h作图而得。通常半方差函数值都随着样点间距的增加而增大，并在一定的间距(称为变程，arrange)升大到一个基本稳定的常数(称为基台，sill)。-半方差函数
半方差的方差函数的理论模型
土壤在空间上是连续变异的，所以土壤性质的半方差函数应该是连续函数.但是，样品半方差图却是由一批间断点组成.可以用直线或曲线将这些点连接起来，用于拟合的曲线方程就称为半方差函数的理论模型.在土壤研究中常用的模型有： 式中C1/a是直线的斜率.这是一维数据拟合的最简单模型：-半方差函数
（（h)=C0 +C1·h/a 0在极限情况下，C1/a可以为0，这时就有纯块金效应模型：
（（h)=C0,h0 ⑷
（（0)=0 h=0 （（h)= C0 +C1[1.5h/a-0.5(h/a)3] 0a ⑸
（（0)=0 h=0 （（h)=C0+C1[1-exp-h/a ] h0 ⑹
（（0)=0 h=0 （（h)=C0+C1[1-exp(-h2/a2)] h0 ⑻
（（0)=0 h=0
选定了半方差函数的拟合模型后，通常是以最小二乘法计算方程的参数，并应用Ross等的最大似然程序（MLP），得到效果最好的半方差方程.
