本文目录一览：
- 1、欧拉函数 || 降幂
- 2、欧拉函数φ(120)怎么算？
- 3、欧拉函数的证明
- 4、欧拉函数计算公式是什么?
- 5、求欧拉函数的计算公式
欧拉函数 || 降幂
φ[p]是欧拉函数，表示0到x中与x互质的数的个数
例如φ(24)=8，因为1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23均和 24 互质。
φ(24)=24*(1-1/2)*(1-1/3)=8.
其中(p1.....pn)为N的素因子.
对于质数p，φ(p) = p - 1，注意φ(1)=1.
欧拉函数是积性函数——
若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
若n是质数p的k次幂，φ(n)=p k-p (k-1)=(p-1)p^(k-1)，念升因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)
欧拉函数还有这样的性质：
设a为N的质因数，若(N % a == 0 (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a；若(N % a == 0 (N / a) % a != 0) 则有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)。-欧拉函数
欧拉定理：若a与m互质，则a^f(m)恒等于1(mod m)
降幂公式：a^b mod c = a^(b mod phi(c)+phi(c)) mod c。{phi(c) == f(c)}
题意：给你一个字符串，由0,1,2组成，每秒钟在1后面添加一个0，在二后面添加一个1，然后去掉字符串的首个字符，问需要多少秒后，字符串变成空串。
1
01
001
0001
00001
000001
0000001
00000001
000000001
0000000001
相对应的答案搭蚂是：2,4,6,8,10,12,14,16,18,20
2
02
002
0002
00002
000002
0000002
00000002
000000002
0000000002
相对应的答案是：3,9,21,45,93,189,381,765,1533,3069
然后可以推出，0的时候，t'=t+1；1的时候，t'=2*（t+1）；2的时候， t'=3*（2^(t+1)-1）
但是我们现在知道的就只有以下四仔枝老种方式
欧拉函数φ(120)怎么算？
分解质因数：120=2^3*3*5
欧拉函数：φ(120)=120*(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=120*1/2*2/3*4/5=32
小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）。
设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值φ：N→N，n→φ(n)称早悔为欧拉函数。
扩展资料：
利用欧拉函数尘睁携和它本身不同质因数的关系，用筛法计算出某个范围派伏内所有数的欧拉函数值。
如：
ψ（10）=10×（1－1/2）×（1－1/5）=4；
ψ（30）=30×（1－1/2）×（1－1/3）×（1－1/5）=8。
欧拉函数的证明
欧拉函数：对任意大于1的正整数x，团迅辩[1, x]范围内与x互质的正整数的个数 f(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2).....(1-1/pn)
其中pi为x所有的质因数（i=1, 2, ... , n）
证明：
当x=2时，仅有1与x互质，仅有1个质因数2，因此f(x)=x(1-1/p1)=2*(1-1/2)=1, 欧拉函数成立。
当x=p^k时，其中p为质数，k为正整数，则与x不互质的正整数为p, 2p, ..., x, 即p(1, 2, ..., x/p), 除此之外的数均与x互质，因此互质的个数塌缺为x-x/p=x(1-1/p), 欧拉函数成立。-欧拉函数
当x=(p1^k1) * (p2^k2)时，根据定理，两个互质的正整数的欧拉函数之积等于其积的欧拉函数，因为(p1^k1) 与 (p2^k2) 互质，因此：
f((p1^k1) * (p2^k2)) = f(p1^k1) * f(p2^k2) = p1^k1(1-1/p1) * p2^k2(1-1/p2) = (p1^k1) * (p2^k2) * (1-1/p1) * (1-1/p2)-欧拉函数
即 f(x) = x(1-1/p1) * (1-1/p2) ，欧拉函数成立。
当x=(p1^k1) * (p2^k2) * ... * (pt^kt) , 其中t=3时，因为 (p1^k1) 与 (p2^k2) * ... * (pt^kt) 互质，因此
f(x) = f(p1^k1) * f((p2^k2) * ... * (pt^kt)),
同理不断展开，即
f(x) = f(p1^k1) * f(p2^k2) * ... * f(pt^kt) = (p1^k1) * (1-1/p1) * (p2^k2) * (1-1/p2) ......... * (pt^kt) * (1-1/pt)-欧拉函数
= (p1^k1) * (p2^k2) * ... * (pt^kt) * (1-1/p1) * (1-1/p2) * .... * (1-1/昌滚pt)
= x(1-1/p1) (1-1/p2) .... (1-1/pt)
证明完毕
欧拉函数计算公式是什么?
它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有游烂人称其为Descartes定理，R+V-E=2就是欧盯饥拉公式。
在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记神则漏顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理。
当R=2时。
由说明1这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”。
即R=2，V=2，E=2于是R+V-E=2,欧拉定理成立。
求欧拉函数的计算公式
它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外盯饥也有人称其为Descartes定理，R+V-E=2就是欧拉公式。
在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理。
当R=2时。
由说明1这两个区域可想象为以赤道为边界的神则漏两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”。
即R=2，V=2，E=2于是R+V-E=2,欧拉定游烂理成立。
